$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$とするとき、以下の式を$a, b$で表す。 (1) $\log_{10}\frac{3}{8}$ (2) $\log_{10}\sqrt[3]{6}$ (3) $\log_2 3$ (4) $\log_{10}15$

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$とするとき、以下の式を$a, b$で表す。

(1) $\log_{10}\frac{3}{8}$

(2) $\log_{10}\sqrt[3]{6}$

(3) $\log_2 3$

(4) $\log_{10}15$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{10}\frac{3}{8}$

$\log_{10}\frac{3}{8} = \log_{10}3 - \log_{10}8 = \log_{10}3 - \log_{10}2^3 = \log_{10}3 - 3\log_{10}2$

$\log_{10}\frac{3}{8} = b - 3a$

(2) $\log_{10}\sqrt[3]{6}$

$\log_{10}\sqrt[3]{6} = \log_{10}6^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_{10}6 = \frac{1}{3}\log_{10}(2 \times 3) = \frac{1}{3}(\log_{10}2 + \log_{10}3)$

$\log_{10}\sqrt[3]{6} = \frac{1}{3}(a + b)$

(3) $\log_2 3$

$\log_2 3 = \frac{\log_{10}3}{\log_{10}2} = \frac{b}{a}$

(4) $\log_{10}15$

$\log_{10}15 = \log_{10}(3 \times 5) = \log_{10}(3 \times \frac{10}{2}) = \log_{10}3 + \log_{10}10 - \log_{10}2$

$\log_{10}15 = b + 1 - a$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}\frac{3}{8} = b - 3a$

(2) $\log_{10}\sqrt[3]{6} = \frac{a+b}{3}$

(3) $\log_2 3 = \frac{b}{a}$

(4) $\log_{10}15 = 1 - a + b$