$1 \le x \le 1$ の範囲において、常に $x^2 - 2ax + a + 6 \ge 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。問題文中に $1 \le x \le 1$ とありますが、$ -1 \le x \le 1$ が正しいものとして解きます。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 1$ の範囲において、常に $x^2 - 2ax + a + 6 \ge 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。問題文中に $1 \le x \le 1$ とありますが、$-1 \le x \le 1$ が正しいものとして解きます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $x^2 - 2ax + a + 6 \ge 0$ を $f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ とおきます。

$f(x)$ を平方完成すると、

$$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 6$$

軸は $x = a$ です。

(i) $a < -1$ のとき、$-1 \le x \le 1$ で $f(x)$ は増加関数なので、$x = -1$ で最小値をとります。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + a + 6 = 1 + 2a + a + 6 = 3a + 7 \ge 0$

$3a \ge -7$

$a \ge -\frac{7}{3}$

$a < -1$ と $a \ge -\frac{7}{3}$ の共通範囲は $-\frac{7}{3} \le a < -1$ です。

(ii) $-1 \le a \le 1$ のとき、$f(x)$ の最小値は頂点の $x = a$ でとります。

$f(a) = -a^2 + a + 6 \ge 0$

$a^2 - a - 6 \le 0$

$(a - 3)(a + 2) \le 0$

$-2 \le a \le 3$

$-1 \le a \le 1$ と $-2 \le a \le 3$ の共通範囲は $-1 \le a \le 1$ です。

(iii) $a > 1$ のとき、$-1 \le x \le 1$ で $f(x)$ は減少関数なので、$x = 1$ で最小値をとります。

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + a + 6 = 1 - 2a + a + 6 = -a + 7 \ge 0$

$a \le 7$

$a > 1$ と $a \le 7$ の共通範囲は $1 < a \le 7$ です。

(i), (ii), (iii) を合わせると、 $-\frac{7}{3} \le a < -1$, $-1 \le a \le 1$, $1 < a \le 7$ より、$-\frac{7}{3} \le a \le 7$ です。

問題文の形式に合わせると、$-\frac{7}{3} \le a \le 7$ となり、最初の空欄は $-\frac{7}{8}$ なので、 $-\frac{7}{3}$ が正しいでしょう。 また、問題文の最後の空欄は $7$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{3} \le a \le 7$

最初の空欄: 3

最後の空欄: 7