自然数 $n$ に対して、$n^2 - 20n + 91$ の値が素数となるような $n$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$n^2 - 20n + 91$ の値が素数となるような $n$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n^2 - 20n + 91$ を因数分解します。

$n^2 - 20n + 91 = (n - 7)(n - 13)$

$n^2 - 20n + 91$ が素数となるためには、$(n - 7)$ と $(n - 13)$ のどちらか一方が 1 または -1 で、もう一方が素数または素数の符号を変えた数である必要があります。

場合分けをして考えます。

(i) $n - 7 = 1$ のとき、$n = 8$

このとき、$n - 13 = 8 - 13 = -5$

$n^2 - 20n + 91 = (1)(-5) = -5$

これは素数ではないので不適です。

(ii) $n - 7 = -1$ のとき、$n = 6$

このとき、$n - 13 = 6 - 13 = -7$

$n^2 - 20n + 91 = (-1)(-7) = 7$

これは素数なので、$n = 6$ は条件を満たします。

(iii) $n - 13 = 1$ のとき、$n = 14$

このとき、$n - 7 = 14 - 7 = 7$

$n^2 - 20n + 91 = (7)(1) = 7$

これは素数なので、$n = 14$ は条件を満たします。

(iv) $n - 13 = -1$ のとき、$n = 12$

このとき、$n - 7 = 12 - 7 = 5$

$n^2 - 20n + 91 = (5)(-1) = -5$

これは素数ではないので不適です。

したがって、$n^2 - 20n + 91$ が素数となる自然数 $n$ は $n = 6$ と $n = 14$ です。

3. 最終的な答え

$n = 6, 14$