与えられた式 $2x^2 + 2xy + 5x - y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 2xy + 5x - y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (2y+5)x - (y+3)$

たすき掛けで因数分解できるか試します。

$2x^2 + 2xy + 5x - y - 3 = (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$

$ac = 2$

$ad+bc = 2y+5$

$bd = -(y+3)$

$ac = 2$ より、$a=2, c=1$ または $a=1, c=2$ のいずれか。

$a=2, c=1$とすると、

$2d+b = 2y+5$

$bd = -(y+3)$

$b=-(2d-2y-5)$となり、これより、$d(-(2d-2y-5)) = -(y+3)$

$-2d^2 + 2dy + 5d = -y-3$

$2d^2 - 2dy -5d - y - 3 = 0$

これでは、$d$ が定数にならないので、$a=2, c=1$はうまくいかない。

$a=1, c=2$とすると、

$d+2b = 2y+5$

$bd = -(y+3)$

$d = 2y+5-2b$となり、これより、$b(2y+5-2b) = -(y+3)$

$2by+5b-2b^2 = -y-3$

$2b^2 -2by -5b -y -3 = 0$

$2b^2 - (2y+5)b - (y+3) = 0$

因数分解してみる。

$(x+y+3)(2x-1)$を展開してみると、

$2x^2 -x + 2xy - y + 6x - 3 = 2x^2 + 2xy + 5x -y - 3$

したがって、因数分解の結果は $(x+y+3)(2x-1)$。

3. 最終的な答え

$(x+y+3)(2x-1)$