次の4つの対数方程式または不等式を解きます。 (1) $\log_3 (x+1)^2 = 2$ (2) $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$ (3) $\log_{\frac{1}{2}} (x-1) > 2$ (4) $\log_2 (x+1) + \log_2 (x-2) < 2$

1. 問題の内容

次の4つの対数方程式または不等式を解きます。

(1) $\log_3 (x+1)^2 = 2$

(2) $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$

(3) $\log_{\frac{1}{2}} (x-1) > 2$

(4) $\log_2 (x+1) + \log_2 (x-2) < 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 (x+1)^2 = 2$

真数条件より $x+1 \neq 0$ すなわち $x \neq -1$。

$\log_3 (x+1)^2 = 2$ を変形すると、

$(x+1)^2 = 3^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 = 9$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

$(x+4)(x-2) = 0$

$x = -4, 2$

これらは $x \neq -1$ を満たすので、解である。

(2) $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$

真数条件より $x>0$ かつ $x+7>0$、すなわち $x>0$。

$\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$ を変形すると、

$\log_2 (x(x+7)) = 3$

$x(x+7) = 2^3 = 8$

$x^2 + 7x = 8$

$x^2 + 7x - 8 = 0$

$(x+8)(x-1) = 0$

$x = -8, 1$

$x > 0$ を満たすのは $x=1$ のみ。

(3) $\log_{\frac{1}{2}} (x-1) > 2$

真数条件より $x-1 > 0$ すなわち $x>1$。

$\log_{\frac{1}{2}} (x-1) > 2$ を変形すると、底が1より小さいことに注意して、

$x-1 < (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$x < \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

$x>1$ と $x < \frac{5}{4}$ を満たす $x$ の範囲は $1 < x < \frac{5}{4}$。

(4) $\log_2 (x+1) + \log_2 (x-2) < 2$

真数条件より $x+1 > 0$ かつ $x-2 > 0$、すなわち $x>-1$ かつ $x>2$。したがって $x>2$。

$\log_2 (x+1) + \log_2 (x-2) < 2$ を変形すると、

$\log_2 ((x+1)(x-2)) < 2$

$(x+1)(x-2) < 2^2 = 4$

$x^2 - 2x + x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

$(x-3)(x+2) < 0$

$-2 < x < 3$

$x>2$ と $-2 < x < 3$ を満たす $x$ の範囲は $2 < x < 3$。

3. 最終的な答え

(1) $x = -4, 2$

(2) $x = 1$

(3) $1 < x < \frac{5}{4}$

(4) $2 < x < 3$