$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

したがって、この関数は頂点が $(1, 2)$ の上に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le a$ です。

最大値を与える $x$ の値は、定義域と頂点の位置関係によって場合分けされます。

(i) $0 < a < 1$ のとき、定義域の範囲内で $x$ が $1$ に最も近いのは $x = a$ なので、$x = a$ で最大値をとります。

このとき、最大値は $y = -a^2 + 2a + 1$ です。

(ii) $a = 1$ のとき、$x=1$で最大値を取るので、$x=1$で最大値は$2$

(iii) $a > 1$ のとき、定義域内に頂点 $x = 1$ が含まれるので、$x = 1$ で最大値をとります。

このとき、最大値は $y = -(1-1)^2 + 2 = 2$ です。

したがって、

(i) $0 < a < 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

(ii) $a = 1$ のとき、最大値は $2$

(iii) $a > 1$ のとき、最大値は $2$

これらをまとめると、

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $2$

$a > 1$のとき、最大値は

2.

まとめると、

(i) $0 < a \le 1$ のとき、最大値 $2$

(ii) $a > 1$ のとき、最大値 $2$.

この問題の場合、頂点のx座標が定義域に含まれるかどうかで場合分けするのが適切。

(i) $0 < a < 1$のとき、最大値は$-a^2 + 2a + 1$

(ii) $1 \le a$のとき、最大値は$2$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$1 \le a$ のとき、最大値は $2$