自然数 $n$ に対して、$a_n$ を $n+1$ から $2n$ までの積と定義する。 (1) $a_4$ を因数分解せよ。 (2) $a_n = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (3) $a_n$ を $2^{n+1}$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$a_n$ を $n+1$ から $2n$ までの積と定義する。

(1) $a_4$ を因数分解せよ。

(2) $a_n = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

(3) $a_n$ を $2^{n+1}$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_4$ は $4+1=5$ から $2 \times 4 = 8$ までの積なので、

$a_4 = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 4) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 4 = 1680$.

因数分解は $1680 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

(2) 数学的帰納法で $a_n = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$ を証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 1+1=2$ であり、$2^1 \cdot 1 = 2$ なので成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = 2^k \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = (k+2)(k+3)\cdots(2k)(2k+1)(2k+2) = \frac{(2k+2)!}{(k+1)!}$.

$a_{k+1} = a_k \cdot (2k+1)(2k+2) = 2^k \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1) \cdot (2k+1)(2k+2)$.

$a_{k+1} = 2^k \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1) \cdot (2k+1) \cdot 2(k+1) = 2^{k+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)(2k+1)(k+1)$

ここで$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)(2k+1)$は奇数の積です。一方, 示したいのは

$a_{k+1}=2^{k+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2(k+1)-1) = 2^{k+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k+1)$

よって$n=k+1$の場合も成り立つ。

(i), (ii) より、全ての自然数 $n$ について $a_n = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$ が成り立つ。

(3) $a_n = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$ を $2^{n+1}$ で割った余りを求める。

$a_n = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) = 2^{n+1} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2}$.

もし$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$ が偶数ならば、$\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2}$は整数になり、余りは

0. しかし奇数の積は奇数なので、

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) = 2q + 1$. したがって、$a_n = 2^n(2q+1) = 2^{n+1}q + 2^n$.

$a_n$ を $2^{n+1}$ で割った余りは $2^n$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_4 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

(2) 上記参照

(3) $2^n$