問題は以下の通りです。 $2x + y = 1$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ の最小値 (2) $2x^2 - y^2$ の最大値

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

$2x + y = 1$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $x^2 + y^2$ の最小値

(2) $2x^2 - y^2$ の最大値

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2$ の最小値を求める。

$2x + y = 1$ より、$y = 1 - 2x$。

これを $x^2 + y^2$ に代入する。

$x^2 + (1 - 2x)^2 = x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 5x^2 - 4x + 1$

この式を平方完成する。

$5x^2 - 4x + 1 = 5(x^2 - \frac{4}{5}x) + 1 = 5(x^2 - \frac{4}{5}x + (\frac{2}{5})^2) - 5(\frac{2}{5})^2 + 1 = 5(x - \frac{2}{5})^2 - \frac{4}{5} + 1 = 5(x - \frac{2}{5})^2 + \frac{1}{5}$

$5(x - \frac{2}{5})^2 \geq 0$ なので、$x = \frac{2}{5}$ のとき最小値 $\frac{1}{5}$ をとる。

$x = \frac{2}{5}$ のとき、$y = 1 - 2x = 1 - 2(\frac{2}{5}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

(2) $2x^2 - y^2$ の最大値を求める。

$2x + y = 1$ より、$y = 1 - 2x$。

これを $2x^2 - y^2$ に代入する。

$2x^2 - (1 - 2x)^2 = 2x^2 - (1 - 4x + 4x^2) = 2x^2 - 1 + 4x - 4x^2 = -2x^2 + 4x - 1$

この式を平方完成する。

$-2x^2 + 4x - 1 = -2(x^2 - 2x) - 1 = -2(x^2 - 2x + 1) + 2 - 1 = -2(x - 1)^2 + 1$

$-2(x - 1)^2 \leq 0$ なので、$x = 1$ のとき最大値 1 をとる。

$x = 1$ のとき、$y = 1 - 2x = 1 - 2(1) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $1$