数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) $S_n = n^2 - 4n$ (2) $S_n = n^3 + 1$ (3) $S_n = 2^n - 1$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) $S_n = n^2 - 4n$

(2) $S_n = n^3 + 1$

(3) $S_n = 2^n - 1$

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、 $n \geq 2$ のとき $a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められます。また、初項 $a_1$ は $S_1$ に等しいです。

(1) $S_n = n^2 - 4n$ の場合

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 - 4(1) = -3$

$n \geq 2$ のとき、

\begin{align*} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (n^2 - 4n) - ((n-1)^2 - 4(n-1)) \\ &= (n^2 - 4n) - (n^2 - 2n + 1 - 4n + 4) \\ &= n^2 - 4n - (n^2 - 6n + 5) \\ &= n^2 - 4n - n^2 + 6n - 5 \\ &= 2n - 5 \end{align*}

$n=1$ のとき $2n-5 = 2(1) - 5 = -3$ となり、$a_1 = -3$ と一致します。

(2) $S_n = n^3 + 1$ の場合

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^3 + 1 = 2$

$n \geq 2$ のとき、

\begin{align*} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (n^3 + 1) - ((n-1)^3 + 1) \\ &= n^3 + 1 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 1) \\ &= n^3 + 1 - n^3 + 3n^2 - 3n \\ &= 3n^2 - 3n + 1 \end{align*}

$n=1$ のとき $3n^2 - 3n + 1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 1$ となり、$a_1 = 2$ と一致しません。

したがって、

$a_1 = 2$

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \geq 2$)

(3) $S_n = 2^n - 1$ の場合

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2^1 - 1 = 1$

$n \geq 2$ のとき、

\begin{align*} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) \\ &= 2^n - 1 - 2^{n-1} + 1 \\ &= 2^n - 2^{n-1} \\ &= 2^{n-1} \cdot 2 - 2^{n-1} \\ &= 2^{n-1} (2 - 1) \\ &= 2^{n-1} \end{align*}

$n=1$ のとき $2^{n-1} = 2^{1-1} = 2^0 = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致します。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n - 5$

(2) $a_1 = 2$, $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \geq 2$)

(3) $a_n = 2^{n-1}$