関数 $y = 2x + a$ において、定義域が $-4 \le x \le b$ のとき、値域が $-5 \le y \le 7$ となるような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x + a$ において、定義域が $-4 \le x \le b$ のとき、値域が $-5 \le y \le 7$ となるような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数が $y = 2x + a$ であり、$x$ の係数が正であることから、この関数は単調増加であることがわかります。

したがって、$x$ が最小値のとき $y$ も最小値をとり、$x$ が最大値のとき $y$ も最大値をとります。

定義域が $-4 \le x \le b$ であることから、

$x = -4$ のとき、$y = -5$ となり、

$x = b$ のとき、$y = 7$ となります。

これらの条件をそれぞれ式にすると、以下のようになります。

$2(-4) + a = -5$

$2b + a = 7$

一つ目の式から $a$ を求めます。

$-8 + a = -5$

$a = -5 + 8$

$a = 3$

求めた $a$ の値を二つ目の式に代入して $b$ を求めます。

$2b + 3 = 7$

$2b = 7 - 3$

$2b = 4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 2$