関数 $y = ax + 5$ （定義域 $2 \le x \le 3$）の値域が $-1 \le y \le b$ となるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + 5$ （定義域 $2 \le x \le 3$）の値域が $-1 \le y \le b$ となるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = ax + 5$ は $x$ の一次関数なので、そのグラフは直線である。定義域 $2 \le x \le 3$ における値域を考える場合、$a$ の符号によって、関数は増加関数か減少関数になるか変わる。

(1) $a > 0$ の場合：

関数は増加関数なので、$x=2$ のとき最小値、 $x=3$ のとき最大値を取る。

したがって、

$2a + 5 = -1$

$3a + 5 = b$

これらの式から、$a$ と $b$ を求める。

$2a = -6$

$a = -3$

ところが、$a > 0$ を仮定していたので、これは矛盾する。

(2) $a < 0$ の場合：

関数は減少関数なので、$x=2$ のとき最大値、 $x=3$ のとき最小値を取る。

したがって、

$2a + 5 = b$

$3a + 5 = -1$

これらの式から、$a$ と $b$ を求める。

$3a = -6$

$a = -2$

$b = 2a + 5 = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$

(3) $a = 0$ の場合：

$y = 5$ となり、$-1 \le y \le b$ とならない。

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 1$