与えられた2次関数について、グラフの概形を描き、軸の方程式と頂点の座標を求める問題です。対象となる2次関数は以下の5つです。 (1) $y = 2x^2 + 5x + 2$ (2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$ (3) $y = -\frac{2}{3}x^2 - 4x$ (4) $y = (x + 2)(x - 1)$ (5) $y = (2x + 1)(x - 2)$

はい、承知いたしました。画像にある2次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める問題について、それぞれ解説します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、グラフの概形を描き、軸の方程式と頂点の座標を求める問題です。対象となる2次関数は以下の5つです。

(1) $y = 2x^2 + 5x + 2$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

(3) $y = -\frac{2}{3}x^2 - 4x$

(4) $y = (x + 2)(x - 1)$

(5) $y = (2x + 1)(x - 2)$

2. 解き方の手順

これらの2次関数を平方完成し、$y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形します。このとき、軸は $x = p$ であり、頂点の座標は $(p, q)$ となります。

(1) $y = 2x^2 + 5x + 2$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x) + 2$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2) + 2 - 2(\frac{5}{4})^2$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 + 2 - \frac{25}{8}$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{9}{8}$

軸: $x = -\frac{5}{4}$

頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 2^2) - \frac{1}{2}(2^2)$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$

軸: $x = -2$

頂点: $(-2, -2)$

(3) $y = -\frac{2}{3}x^2 - 4x$

$y = -\frac{2}{3}(x^2 + 6x)$

$y = -\frac{2}{3}(x^2 + 6x + 3^2) + \frac{2}{3}(3^2)$

$y = -\frac{2}{3}(x + 3)^2 + 6$

軸: $x = -3$

頂点: $(-3, 6)$

(4) $y = (x + 2)(x - 1)$

$y = x^2 + x - 2$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - 2$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

軸: $x = -\frac{1}{2}$

頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

(5) $y = (2x + 1)(x - 2)$

$y = 2x^2 - 4x + x - 2$

$y = 2x^2 - 3x - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2) - 2 - 2(\frac{3}{4})^2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 - \frac{9}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

軸: $x = \frac{3}{4}$

頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = -\frac{5}{4}$, 頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$

(2) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, -2)$

(3) 軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, 6)$

(4) 軸: $x = -\frac{1}{2}$, 頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

(5) 軸: $x = \frac{3}{4}$, 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$