2次方程式 $x^2 - (a+2)x + a^2 + \frac{5}{2}a - 5 = 0$ が実数解 $\alpha, \beta$ ($\alpha \le \beta$) を持つとき、以下の問いに答える。ただし、$a$ は定数とする。 (1) $a$ の取り得る値の範囲、$\beta - \alpha$ を $a$ で表した式、$\beta - \alpha$ の最大値を求める。 (2) $\alpha + \beta = a + \text{□}$, $\alpha \beta = a^2 + \frac{\text{□}}{\text{□}} a - \text{□}$ を用いて、$\alpha^2 - \beta^2$ の取り得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (a+2)x + a^2 + \frac{5}{2}a - 5 = 0$ が実数解 $\alpha, \beta$ ($\alpha \le \beta$) を持つとき、以下の問いに答える。ただし、$a$ は定数とする。

(1) $a$ の取り得る値の範囲、$\beta - \alpha$ を $a$ で表した式、$\beta - \alpha$ の最大値を求める。

(2) $\alpha + \beta = a + \text{□}$, $\alpha \beta = a^2 + \frac{\text{□}}{\text{□}} a - \text{□}$ を用いて、$\alpha^2 - \beta^2$ の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (a+2)^2 - 4(a^2 + \frac{5}{2}a - 5) = a^2 + 4a + 4 - 4a^2 - 10a + 20 = -3a^2 - 6a + 24 \ge 0$

$3a^2 + 6a - 24 \le 0$

$a^2 + 2a - 8 \le 0$

$(a+4)(a-2) \le 0$

よって、$-4 \le a \le 2$

$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta}$

$\alpha + \beta = a+2$

$\alpha \beta = a^2 + \frac{5}{2} a - 5$

$(\beta - \alpha)^2 = (a+2)^2 - 4(a^2 + \frac{5}{2} a - 5) = a^2 + 4a + 4 - 4a^2 - 10a + 20 = -3a^2 - 6a + 24$

$\beta - \alpha = \sqrt{-3a^2 - 6a + 24} = \sqrt{-3(a^2 + 2a) + 24} = \sqrt{-3(a^2 + 2a + 1) + 3 + 24} = \sqrt{-3(a+1)^2 + 27}$

$\beta - \alpha = \sqrt{-3(a+1)^2 + 27}$

$-4 \le a \le 2$ より、$a = -1$ のとき、$(\beta - \alpha)^2$ は最大値 27 をとる。

$\beta - \alpha$ は正であるから、最大値は $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

(2)

$\alpha + \beta = a+2$

$\alpha \beta = a^2 + \frac{5}{2} a - 5$

$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = (a+2)(-\sqrt{-3a^2-6a+24}) = -(a+2)\sqrt{-3a^2-6a+24}$

$f(a) = (a+2)^2(-3a^2-6a+24) = (a^2+4a+4)(-3a^2-6a+24) = -3a^4 -6a^3+24a^2 -12a^3 -24a^2+96a-12a^2-24a+96 = -3a^4 -18a^3 -12a^2 + 72a + 96$

$g(a) = -3a^2 - 6a + 24$

$h(a) = a+2$

$a = -4$ のとき、$\alpha + \beta = -2$、$\beta - \alpha = 0$。よって、$\alpha = \beta = -1$。$\alpha^2 - \beta^2 = 0$

$a = 2$ のとき、$\alpha + \beta = 4$、$\beta - \alpha = 0$。よって、$\alpha = \beta = 2$。$\alpha^2 - \beta^2 = 0$

$a = -1$ のとき、$\alpha + \beta = 1$、$\beta - \alpha = 3\sqrt{3}$。

$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = (1)(-3\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}$

$a = -3$ のとき、$\alpha + \beta = -1$、$\beta - \alpha = \sqrt{-3(9) - 6(-3) + 24} = \sqrt{-27+18+24} = \sqrt{15}$

$\alpha^2 - \beta^2 = -(\alpha + \beta)(\beta - \alpha) = -(-1)\sqrt{15} = \sqrt{15}$

$a = 0$ のとき、$\alpha + \beta = 2$、$\beta - \alpha = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$\alpha^2 - \beta^2 = -(\alpha + \beta)(\beta - \alpha) = -(2)(2\sqrt{6}) = -4\sqrt{6}$

$f(a) = (\beta - \alpha)^2 = (a+2)^2$ のとき、$(\beta - \alpha) = \sqrt{-3a^2-6a+24}$

$\alpha - \beta = -\sqrt{-3a^2 - 6a + 24} = - \sqrt{27 - 3(a+1)^2}$

$\alpha^2 - \beta^2 = (a+2)(-\sqrt{-3a^2 - 6a + 24})$

$f(a) = (a+2)\sqrt{-3a^2 - 6a + 24}$

$-4 \le a \le 2$

$\alpha^2 - \beta^2 = -(\beta^2 - \alpha^2) = -(\beta + \alpha)(\beta - \alpha) = -(a+2)\sqrt{-3a^2 - 6a + 24}$

$a=-1$ のとき、$-(1)\sqrt{27} = -3\sqrt{3} \approx -5.19$

$a=2$ のとき、$-4\sqrt{0} = 0$

$a=-4$ のとき、$2\sqrt{0} = 0$

$a=-3$ のとき、$-(-1)\sqrt{-3(9) - 6(-3) + 24} = \sqrt{-27 + 18 + 24} = \sqrt{15} \approx 3.87$

$a=0$ のとき、$-(2)\sqrt{24} = -4\sqrt{6} \approx -9.79$

3. 最終的な答え

(1)

1: -4

2: 2

3: -3

4: -6

5: 2

6: 4

7: 3

8: 3

(2)

9: 2

10: 5

11: 2

12: 5

13: -48

14: 0

15:

16: