2次方程式 $x^2 - 2(m+1)x + m + 7 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値と、その時の重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m+1)x + m + 7 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値と、その時の重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2(m+1))^2 - 4(1)(m+7)$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m+7)$

$D = 4m^2 + 8m + 4 - 4m - 28$

$D = 4m^2 + 4m - 24$

重解を持つためには、$D = 0$ でなければならないので、

$4m^2 + 4m - 24 = 0$

$m^2 + m - 6 = 0$

$(m+3)(m-2) = 0$

したがって、$m = -3$ または $m = 2$ です。

次に、$m$ のそれぞれの値に対して重解を求めます。

$m = -3$ のとき、方程式は $x^2 - 2(-3+1)x + (-3) + 7 = 0$ となり、

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x+2)^2 = 0$

$x = -2$ （重解）

$m = 2$ のとき、方程式は $x^2 - 2(2+1)x + 2 + 7 = 0$ となり、

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$ （重解）

3. 最終的な答え

$m = -3$ のとき、重解は $x = -2$

$m = 2$ のとき、重解は $x = 3$