関数 $y=ax-a+3$ ($0 \le x \le 2$) の値域が $1 \le y \le b$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y=ax-a+3$ ($0 \le x \le 2$) の値域が $1 \le y \le b$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y=a(x-1)+3$ と変形する。

$a$ の値によって場合分けをする。

(i) $a > 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ も増加する。つまり、$x=0$ のとき最小値、 $x=2$ のとき最大値をとる。

$x=0$ のとき、$y=a(0-1)+3 = -a+3$

$x=2$ のとき、$y=a(2-1)+3 = a+3$

したがって、

$-a+3 = 1$

$a+3 = b$

これを解くと、 $a = 2$ および $b = 5$

これは、$a > 0$ の条件を満たす。

(ii) $a < 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ は減少する。つまり、$x=0$ のとき最大値、 $x=2$ のとき最小値をとる。

$x=0$ のとき、$y=a(0-1)+3 = -a+3$

$x=2$ のとき、$y=a(2-1)+3 = a+3$

したがって、

$-a+3 = b$

$a+3 = 1$

これを解くと、 $a = -2$ および $b = 5$

これは、$a < 0$ の条件を満たす。

(iii) $a = 0$ のとき

$y = 3$ となり、$1 \le y \le b$ の範囲に当てはまらない。

3. 最終的な答え

$a = 2$ のとき $b = 5$

$a = -2$ のとき $b = 5$

したがって、

$a = 2, b = 5$

または

$a = -2, b = 5$