$a$ を自然数とするとき、$\sqrt{100-2a}$ が自然数となる $a$ は全部でいくつあるか。

1. 問題の内容

$a$ を自然数とするとき、$\sqrt{100-2a}$ が自然数となる $a$ は全部でいくつあるか。

2. 解き方の手順

$\sqrt{100-2a}$ が自然数になるということは、$100-2a$ が平方数（自然数の二乗）になるということです。

また、$a$ は自然数なので、$100-2a$ は $100$ より小さい数である必要があります。

$100-2a=n^2$ とおきます。ここで、$n$ は自然数です。

$100-2a = n^2$

$2a = 100 - n^2$

$a = \frac{100 - n^2}{2}$

$a$ は自然数なので、$100 - n^2$ は偶数でなければなりません。

つまり、$n^2$ が偶数である必要があります。

$n^2$ が偶数であるためには、$n$ 自身が偶数でなければなりません。

なぜなら、奇数の二乗は奇数になるからです。

したがって、$n$ は偶数である必要があります。

また、$100-2a>0$ より、$100 > 2a$, $50 > a$ である必要があります。

また、$n^2 \ge 1$ でなければならないので、$n$ は $1, 2, 3, ... , 9$ のいずれかです。

$n$ は偶数なので、$n$ は $2, 4, 6, 8$ のいずれかです。

それぞれの場合について、$a$ を計算します。

$n=2$ のとき、$a = \frac{100 - 2^2}{2} = \frac{100 - 4}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$n=4$ のとき、$a = \frac{100 - 4^2}{2} = \frac{100 - 16}{2} = \frac{84}{2} = 42$

$n=6$ のとき、$a = \frac{100 - 6^2}{2} = \frac{100 - 36}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$n=8$ のとき、$a = \frac{100 - 8^2}{2} = \frac{100 - 64}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$n=10$ のとき、$a = \frac{100 - 10^2}{2} = \frac{100 - 100}{2} = \frac{0}{2} = 0$ これは自然数ではないので除く。

したがって、$a$ は $48, 42, 32, 18$ の4つの値を取ります。

3. 最終的な答え

4つ