問題1: 次の連立1次方程式を解く。 $ \begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 \\ 1 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -4 & -17 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ -6 \end{bmatrix} $ 問題2: 次の行列 $A$ の逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求めよ。 $ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

問題1: 次の連立1次方程式を解く。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & -7 & 8 \\

1 & -1 & -5 & 5 \\

3 & -4 & -17 & 18

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-3 \\ -4 \\ -6

\end{bmatrix}

$$

問題2: 次の行列 $A$ の逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求めよ。

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & -1 & -a \\

1 & a & 1 \\

a & 1 & -1

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

問題1: 連立1次方程式を解く。

まず、拡大係数行列を作成する。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\

1 & -1 & -5 & 5 & | & -4 \\

3 & -4 & -17 & 18 & | & -6

\end{bmatrix}

$$

次に、行基本変形を用いて、階段行列に変形する。

2行目から1行目を引く:

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\

0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\

3 & -4 & -17 & 18 & | & -6

\end{bmatrix}

$$

3行目から1行目の3倍を引く:

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\

0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\

0 & 2 & 4 & -6 & | & 3

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目の2倍を引く:

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\

0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 5

\end{bmatrix}

$$

最後の行が $0 = 5$ となるため、この連立1次方程式は解を持たない。

問題2: 行列 $A$ の逆行列が存在するための $a$ の値を求め、その逆行列を求める。

行列 $A$ の行列式を計算する。

$$

\det(A) = 1(a(-1) - 1) - (-1)(1(-1) - a) + (-a)(1 - a^2) \\

= -a - 1 - 1 + a - a + a^3 \\

= a^3 - a - 2 \\

= (a - 2)(a^2 + a + 1)

$$

逆行列が存在するためには、$\det(A) \neq 0$ である必要がある。

したがって、 $a^3 - a - 2 \neq 0$。

$a = 2$ が解の一つ。$a^2+a+1=0$ は実数解を持たない。なぜなら、判別式は $1^2-4(1)(1) = -3 < 0$ であるため。

したがって、$a \neq 2$ である必要がある。

$a = 2$ のとき、

$A = \begin{bmatrix}

1 & -1 & -2 \\

1 & 2 & 1 \\

2 & 1 & -1

\end{bmatrix}$

この行列の逆行列は存在しない。

$a \neq 2$ のとき、逆行列が存在する。

逆行列を求めるには、余因子行列を計算し、転置してから行列式で割る必要がある。

しかし、問題文では、逆行列が存在するような $a$ の値を求めることと、その時の逆行列を求めることが要求されているので、$a=2$の場合以外で考えます。

3. 最終的な答え

問題1: 解なし

問題2: $a \neq 2$ であり、その時の逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{a^3 - a - 2}

\begin{bmatrix}

-a - 1 & -1 - a & 1 + a \\

1 + a & -1 + a^2 & -1 - a \\

1 - a^2 & -1 - a & a + 1

\end{bmatrix}

$$

と表せる。

$a=2$の場合の逆行列は存在しない。