(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ と $a^4 + \frac{1}{a^4}$ の値を求めなさい。 (2) $a + b = 4$, $ab = -\frac{4}{9}$ のとき、$a^2 + b^2$ と $a^2b + ab^2$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ と $a^4 + \frac{1}{a^4}$ の値を求めなさい。

(2) $a + b = 4$, $ab = -\frac{4}{9}$ のとき、$a^2 + b^2$ と $a^2b + ab^2$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

① $a + \frac{1}{a} = 3$ の両辺を2乗します。

$(a + \frac{1}{a})^2 = 3^2$

$a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + \frac{1}{a^2} = 9$

$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$

② $a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$ の両辺を2乗します。

$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = 7^2$

$a^4 + 2(a^2)(\frac{1}{a^2}) + \frac{1}{a^4} = 49$

$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 49$

$a^4 + \frac{1}{a^4} = 49 - 2$

$a^4 + \frac{1}{a^4} = 47$

(2)

① $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使います。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

与えられた値 $a+b=4$ と $ab = -\frac{4}{9}$ を代入します。

$a^2 + b^2 = (4)^2 - 2(-\frac{4}{9})$

$a^2 + b^2 = 16 + \frac{8}{9}$

$a^2 + b^2 = \frac{16 \times 9}{9} + \frac{8}{9}$

$a^2 + b^2 = \frac{144}{9} + \frac{8}{9}$

$a^2 + b^2 = \frac{152}{9}$

② $a^2b + ab^2 = ab(a+b)$ です。

与えられた値 $a+b=4$ と $ab = -\frac{4}{9}$ を代入します。

$a^2b + ab^2 = (-\frac{4}{9})(4)$

$a^2b + ab^2 = -\frac{16}{9}$

3. 最終的な答え

(1)

① $a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$

② $a^4 + \frac{1}{a^4} = 47$

(2)

① $a^2 + b^2 = \frac{152}{9}$

② $a^2b + ab^2 = -\frac{16}{9}$