$\sqrt{12-2\sqrt{32}}$ を簡略化する問題です。画像の解答は、いくつかの段階で間違っています。正しい解き方を示します。

1. 問題の内容

$\sqrt{12-2\sqrt{32}}$ を簡略化する問題です。画像の解答は、いくつかの段階で間違っています。正しい解き方を示します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{32}$ を簡略化します。

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

したがって、

$2\sqrt{32} = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$

与えられた式は次のようになります。

$\sqrt{12-8\sqrt{2}}$

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a-b\sqrt{c}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$と仮定すると、

$a = x+y$ かつ $b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}$

この場合、$a = 12$, $b = 8$, $c = 2$ なので、$b\sqrt{c} = 8\sqrt{2} = 2\sqrt{xy}$

これから $\sqrt{xy} = 4\sqrt{2}$ となり、$xy = 16 \cdot 2 = 32$

$x+y=12$ および $xy=32$ という連立方程式を解きます。

$y=12-x$ より、$x(12-x)=32$

$12x-x^2=32$

$x^2-12x+32=0$

$(x-4)(x-8)=0$

$x=4, 8$

$x=8$ ならば $y=4$

$x=4$ ならば $y=8$

よって、$\sqrt{12-8\sqrt{2}}=\sqrt{8}-\sqrt{4} = 2\sqrt{2}-2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}-2$