3次方程式 $2x^3 + ax^2 + bx + 20 = 0$ が $x=2$ を重解として持つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + ax^2 + bx + 20 = 0$ が $x=2$ を重解として持つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x=2$ を重解に持つということは、この方程式は $(x-2)^2$ で割り切れるはずです。

しかし、3次方程式なので、もう一つの解 $\alpha$ が存在すると考えられます。したがって、方程式は

$2(x-2)^2(x-\alpha) = 0$

と表せます。

展開すると、

$2(x^2 - 4x + 4)(x - \alpha) = 2(x^3 - \alpha x^2 - 4x^2 + 4\alpha x + 4x - 4\alpha) = 2x^3 - 2(\alpha + 4)x^2 + 2(4\alpha + 4)x - 8\alpha = 0$

係数を比較すると、

$2x^3 - 2(\alpha + 4)x^2 + 2(4\alpha + 4)x - 8\alpha = 2x^3 + ax^2 + bx + 20$

したがって、

$a = -2(\alpha + 4)$

$b = 2(4\alpha + 4)$

$-8\alpha = 20$

最後の式より、$\alpha = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2}$

これを代入すると、

$a = -2(-\frac{5}{2} + 4) = -2(\frac{3}{2}) = -3$

$b = 2(4(-\frac{5}{2}) + 4) = 2(-10 + 4) = 2(-6) = -12$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = -12$