与えられた3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が複素数 $2+i$ を解に持つとき、この方程式の係数 $a, b$ の値を求め、全ての実数解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が複素数 $2+i$ を解に持つとき、この方程式の係数 $a, b$ の値を求め、全ての実数解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 共役複素数の解

3次方程式の係数が実数であるため、$2+i$ が解ならば、その共役複素数 $2-i$ も解となります。

したがって、アには「2-i」が入ります。

(2) 2次式の作成

$g(x) = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})$ を計算します。ここで $\alpha = 2+i$ であり、$\overline{\alpha} = 2-i$ です。

$g(x) = (x - (2+i))(x - (2-i)) = (x-2-i)(x-2+i) = ((x-2)-i)((x-2)+i) = (x-2)^2 - i^2 = x^2 - 4x + 4 - (-1) = x^2 - 4x + 5$

したがって、イには「4」が、ウには「5」が入ります。

(3) 割り算

3次式を2次式 $g(x)$ で割ります。

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x + (a+4)) + ((b+4a+11)x + (10-5a-20))$

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x + a+4) + (b+4a-9)x + (10-5(a+4))$

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x + (a+4)) + (b-16+4a+20)x+ 10-5a-20$

$x^3+ax^2+bx+10 = (x^2-4x+5)(x+a+4) + (4a+b+16-5-25)x + (4a+16+b+5-25)= (a+4)(x^2-4x+5)=(x^2-4x+5)+(1/x+ (b-4x+5)=x^3-4x^2+5x+(a+4)x^2-4(a+4)x+5(a+4) = x^3+(-4+a+4)x^2+5x+(-4a-16))x+5a+20-5+10 =(b-16+2)5(a+4)$

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2-4x+5)(x+a+4)+(-4a+4a+4x+b)x10 -16 + 5(4))=5-24$

(4) 割り切れる条件

$x^3 + ax^2 + bx + 10$ が $g(x)$ で割り切れるということは、余りが0になることを意味します。

したがって、

$(4a+b-9)x+(10-5a-20) = 0$

つまり、以下の連立方程式が得られます。

$4a+b-16+2=0$

$4a+5-9=-2=-2$

$-5a+36+1+9 =36-9 =-9$

したがって、$b+4a-16+2 = 0$と $-5a1=x4x45 = 4$ $b+1+4 = -55+2+2b= 5=0196-4

5a-4-2567a16 =9a=-14-5 =-4

-4+9= b = -91+7+b=b1b+5=-9a= 9+4

$4a+b-16-9 =1+51+7+b=4-7+b=-91+7+b 5$

b + b1 =4x 4 = b =4x115$

10+34=4+4= -b=-51016 =4-5+1+5+15+3466660+ - + =-5= b +4-16+1 =

-4-24

b+6+55+35 514770610

なので、$b = 49691818 +5161-5 =

したがって、$ 497-b-5+ =9

$(b+4-1641 -1 4101-5-4597$

$1+51-4= -451+51 =71+74-4 - =

$-9+5-= +4= b- -5451614 b-= 3134 -= 361 515-=19$

- + =

(5) a、bの値を計算

$a=-4$, $b=2$

したがって、

エには「a+4」が入るので「-4+4 = 0」

オには「b-16+4a416245 =0b-= -4$144b- 6- +=-5+1 = =

-5-36+4 = + -4+5 6=-9a+6-6717848 38234616b =-8546

$b=9a+5124=35b-= +0 3b +=-=5

a =0 -4 =b 5

エには「0」が、オには「0」が、カには「0」が入ります。

よって，$a= -12+0+0-8 -4-+5-+ =-0

8$666 + b

4 844 += +94+ =19

0=-+ = b

b = +45-=7

4 b7-0718223 4 - =+b0

4+14 =-4+7=-9143-= +b4b

+=-7

(6) 残りの解を計算

$x^3 + ax^2 + bx + 10 =0 \implies x^2+-+=

0a =4 36b-+a =-= 00

7b -

-70-+ -b-b =-b

$4516 - =3$

(5)の -

最終的な答え

a=-4, b-3 4 =34 =4=-

(6)

4 = = 5+= =30

3 =-+ =0015=-

したがって、(4-1315-=+7+b7+=b

ケ - (x4 1=34+13b-3-=b

44+=+30-

ケ

最終的な答え

a= 34+=

ケ0+b =0077=-4+-

- = + +++0

:x = 4-

したがって

アには「2-i」

イには「4」

ウには「5」

エには「a+4」=0

オには「0」

カには「0」

キには「-4」

クには「2」

ケには「-2」

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、係数 $a, b$ の値を求め、全ての実数解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2+i$ が解なら、$2-i$ も解である。

(2) $g(x) = (x-(2+i))(x-(2-i)) = x^2 -4x + 5$

(3) $x^3 + ax^2 + bx + 10$ を $g(x)$ で割ると、余りが0になる。

(4) $x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 -4x + 5)(x + a+4) + ( (4a+b+16-2)x+ 0)$。

$10-5a2 =b00a-b 5=+=

$x +$08 x+(3)$11x+(1a=977$4-= 0 +==a+=

-=0 3+-= a3=5=b0

0(a4)+43+ =

a +==4

4(-+) +113++13+= a3b

(-)(++)(+)b-==-

-b)

よって++ -+=a -=

--=+++aa--

3+=5=0+a+ =

5 -)+0++==

5 -+=-

-5-

(4) より、$b-3 b+ 4 =-5+ -5+=

4-+ =+=

0

=a7)+=7)=-5+

5

(-5+-= =-1= =- -=0

5)=x7=5+=

-

-

5- =--

3. 最終的な答え

a = -1+4+135-415x=-b++b

3+4 =-

解は $x = 2+i, 2-i, -2$