$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a - \sqrt{b}}$ の形になっているので、$a - \sqrt{b} = (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ となるような$x$と$y$を見つけます。

まず、$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{12 - \sqrt{64 \times 2}} = \sqrt{12 - \sqrt{128}}$ と変形します。

$x^2 + y^2 = 12$ および $2xy = \sqrt{128}$、つまり $xy = \sqrt{32}$となる$x$と$y$を見つけます。

$xy = \sqrt{32}$ より、$x^2 y^2 = 32$です。

$y^2 = 12 - x^2$ を代入すると $x^2(12 - x^2) = 32$ となります。

$12x^2 - x^4 = 32$ より、$x^4 - 12x^2 + 32 = 0$。

$(x^2 - 4)(x^2 - 8) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$x^2 = 4$ または $x^2 = 8$。

$x = 2$ のとき、$y^2 = 12 - 4 = 8$ より、$y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ のとき、$y^2 = 12 - 8 = 4$ より、$y = 2$

どちらの場合でも、$x$と$y$は$2$と$2\sqrt{2}$となります。

したがって、$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} - 2)^2} = 2\sqrt{2} - 2$となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 2$