$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 1 = 0$ が $x = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めます。ここで、$i$ は虚数単位です。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 1 = 0$ が $x = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めます。ここで、$i$ は虚数単位です。

2. 解き方の手順

与えられた解を $\omega = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ とおきます。これは1の3乗根の一つであり、$\omega^3 = 1$ を満たします。また、$\omega$ が実数係数の3次方程式の解であることから、共役複素数 $\overline{\omega} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ も解となります。

ここで、$\omega$ と $\overline{\omega}$ は、$x^2 + x + 1 = 0$ の解であることから、方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 1 = 0$ は $(x^2 + x + 1)$ を因数に持つことがわかります。つまり、$x^3 + ax^2 + bx - 1 = (x^2 + x + 1)(x - 1)$ と書けます。

展開すると、$x^3 + ax^2 + bx - 1 = x^3 - x^2 + x^2 - x + x - 1 = x^3 - 1$ となります。したがって、$x^3 + ax^2 + bx - 1 = x^3 + 0x^2 + 0x - 1$ より、$a = 0$、$b = 0$ となります。

すると方程式は、$x^3 - 1 = 0$ となり、$x^3 = 1$ を解くことになります。解は、$x = 1, \omega, \overline{\omega}$ です。$\omega = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ が与えられているので、残りの解は $x=1$ と $\overline{\omega} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = 0$

$x = 1$ and $x = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$