3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解 $x$ を求める問題です。ただし、$i$ は虚数単位です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解 $x$ を求める問題です。ただし、$i$ は虚数単位です。

2. 解き方の手順

まず、$1+2i$ が解であることから、共役複素数である $1-2i$ も解になります（なぜなら、aとbは実数なので）。そこで、解と係数の関係を利用します。

* 解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とすると、

$\alpha = 1+2i$, $\beta = 1-2i$ です。

* 解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = 0$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$

$\alpha\beta\gamma = -b$

1つ目の式から $\gamma$ を求めます。

$(1+2i) + (1-2i) + \gamma = 0$

$2 + \gamma = 0$

$\gamma = -2$

次に、$\alpha\beta$を計算します。

$\alpha\beta = (1+2i)(1-2i) = 1 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5$

2つ目の式から $a$ を求めます。

$a = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 5 + (1-2i)(-2) + (-2)(1+2i)$

$= 5 -2 + 4i - 2 - 4i = 1$

3つ目の式から $b$ を求めます。

$b = -\alpha\beta\gamma = -5(-2) = 10$

したがって、$a=1$, $b=10$ であり、他の解は $-2$ です。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 10$

$x = -2$