$2^x - 2^{-x} = 3$ のとき、$2^x + 2^{-x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2^x - 2^{-x} = 3$ のとき、$2^x + 2^{-x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$2^x - 2^{-x} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(2^x - 2^{-x})^2 = 3^2$

$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = 9$

$2^{2x} - 2 + 2^{-2x} = 9$

$2^{2x} + 2^{-2x} = 11$

求めたい値を $A = 2^x + 2^{-x}$ とおく。$A$ を2乗すると、

$A^2 = (2^x + 2^{-x})^2$

$A^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2$

$A^2 = 2^{2x} + 2 + 2^{-2x}$

$A^2 = (2^{2x} + 2^{-2x}) + 2$

先ほど求めた $2^{2x} + 2^{-2x} = 11$ を代入すると、

$A^2 = 11 + 2 = 13$

$A = 2^x + 2^{-x}$ であり、$2^x > 0$ かつ $2^{-x} > 0$ より、$A > 0$ である。

したがって、$A = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{13}$