3次方程式 $2x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ を重解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ を重解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x=1$ が2重解なので、与えられた3次式は $(x-1)^2$ で割り切れるか、または $(x-1)$ で割った商も $x=1$ を解に持つ必要があります。

まずは $x=1$ が解であることから、

$2(1)^3 + a(1) + b = 0$

$2 + a + b = 0$

$a + b = -2$ ...(1)

次に、$f(x) = 2x^3 + ax + b$ とおくと、$f'(x) = 6x^2 + a$ 。$x=1$ が重解なので、$f'(1)=0$ となる。

$f'(1) = 6(1)^2 + a = 0$

$6 + a = 0$

$a = -6$ ...(2)

(1)に(2)を代入すると、

$-6 + b = -2$

$b = 4$

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 4$