ベクトル $\vec{a} = (-2, 1)$、$\vec{b} = (3, -2)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{c} = (8, -5)$ を実数 $s, t$ を用いて $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表す。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-2, 1)$、$\vec{b} = (3, -2)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{c} = (8, -5)$ を実数 $s, t$ を用いて $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表すと、

$(8, -5) = s(-2, 1) + t(3, -2)$

$(8, -5) = (-2s + 3t, s - 2t)$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$-2s + 3t = 8$

$s - 2t = -5$

2つ目の式を2倍すると $2s - 4t = -10$ となる。

この式と1つ目の式 $-2s + 3t = 8$ を足し合わせると、

$-t = -2$ となり、$t = 2$ が得られる。

$t = 2$ を $s - 2t = -5$ に代入すると、

$s - 2(2) = -5$

$s - 4 = -5$

$s = -1$

よって、$s = -1$, $t = 2$ となる。

したがって、$\vec{c} = -\vec{a} + 2\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{c} = -\vec{a} + 2\vec{b}$