与えられた連立一次方程式の解空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。具体的には、以下の二つの問題があります。 (1) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, ここで $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$ (2) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, ここで $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。具体的には、以下の二つの問題があります。

(1) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, ここで $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

(2) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, ここで $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

まず2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

次に3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

2行目を-1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

3行目に2行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix}$

3行目を-2/5倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の1/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の1/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

簡約化された行列から、基本解は

$x_1 = -x_3 - 2x_5$

$x_2 = 0$

$x_4 = x_5$

です。したがって、

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

となり、基底は$\{\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$です。

$x_2$成分が常に0であることに注意してください。

次元は2です。

(2)

与えられた行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix}$

2行目を-1/4倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4 & -7/2 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の5倍を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4 & -7/2 \\ 0 & 0 & 15/4 & -45/4 & 15/2 \end{bmatrix}$

3行目を4/15倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4 & -7/2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 10 & -11 \\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4 & -7/2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の7/4倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 10 & -11 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

簡約化された行列から、基本解は

$x_1 = -3x_5$

$x_2 = -5x_4 + 7x_5$

$x_3 = 3x_4 - 2x_5$

です。したがって、

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

となり、基底は$\{\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$です。

次元は2です。

3. 最終的な答え

(1) 次元: 2, 基底: $\{\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

(2) 次元: 2, 基底: $\{\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$