与えられた6つの式をそれぞれ因数分解します。 (1) $x^4 - 81$ (2) $x^4 - 16y^4$ (3) $16x^4 - 81y^4$ (4) $x^4 + 5x^2 + 6$ (5) $x^4 + 3x^2 - 4$ (6) $x^4 - 20x^2 + 64$

1. 問題の内容

与えられた6つの式をそれぞれ因数分解します。

(1) $x^4 - 81$

(2) $x^4 - 16y^4$

(3) $16x^4 - 81y^4$

(4) $x^4 + 5x^2 + 6$

(5) $x^4 + 3x^2 - 4$

(6) $x^4 - 20x^2 + 64$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 81$

二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 + 9)(x^2 - 9)$

さらに、$x^2 - 9$ も二乗の差の公式で因数分解できます。

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$

よって、

$x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x+3)(x-3)$

(2) $x^4 - 16y^4$

二乗の差の公式を利用します。

$x^4 - 16y^4 = (x^2)^2 - (4y^2)^2 = (x^2 + 4y^2)(x^2 - 4y^2)$

$x^2 - 4y^2$ も二乗の差の公式で因数分解できます。

$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x+2y)(x-2y)$

よって、

$x^4 - 16y^4 = (x^2 + 4y^2)(x+2y)(x-2y)$

(3) $16x^4 - 81y^4$

二乗の差の公式を利用します。

$16x^4 - 81y^4 = (4x^2)^2 - (9y^2)^2 = (4x^2 + 9y^2)(4x^2 - 9y^2)$

$4x^2 - 9y^2$ も二乗の差の公式で因数分解できます。

$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x+3y)(2x-3y)$

よって、

$16x^4 - 81y^4 = (4x^2 + 9y^2)(2x+3y)(2x-3y)$

(4) $x^4 + 5x^2 + 6$

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 + 5X + 6$ となります。

これは $(X+2)(X+3)$ と因数分解できます。

$X$ を $x^2$ に戻すと、

$x^4 + 5x^2 + 6 = (x^2 + 2)(x^2 + 3)$

(5) $x^4 + 3x^2 - 4$

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 + 3X - 4$ となります。

これは $(X+4)(X-1)$ と因数分解できます。

$X$ を $x^2$ に戻すと、

$x^4 + 3x^2 - 4 = (x^2 + 4)(x^2 - 1)$

$x^2 - 1$ は二乗の差の公式で因数分解できます。

$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$

よって、

$x^4 + 3x^2 - 4 = (x^2 + 4)(x+1)(x-1)$

(6) $x^4 - 20x^2 + 64$

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 - 20X + 64$ となります。

これは $(X-4)(X-16)$ と因数分解できます。

$X$ を $x^2$ に戻すと、

$x^4 - 20x^2 + 64 = (x^2 - 4)(x^2 - 16)$

$x^2 - 4$ と $x^2 - 16$ はどちらも二乗の差の公式で因数分解できます。

$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$

$x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$

よって、

$x^4 - 20x^2 + 64 = (x+2)(x-2)(x+4)(x-4)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 9)(x+3)(x-3)$

(2) $(x^2 + 4y^2)(x+2y)(x-2y)$

(3) $(4x^2 + 9y^2)(2x+3y)(2x-3y)$

(4) $(x^2 + 2)(x^2 + 3)$

(5) $(x^2 + 4)(x+1)(x-1)$

(6) $(x+2)(x-2)(x+4)(x-4)$