次の式を因数分解せよ。 (1) $x^4 - 5x^2 + 6$

はい、承知しました。画像に写っている問題のうち、いくつか解いてみましょう。まず、因数分解の問題からいくつか、そして組み合わせの計算、最後にパスカルの三角形を使う問題の順で解いていきます。

**因数分解の問題**

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^4 - 5x^2 + 6$

2. 解き方の手順

$x^2 = X$ と置換すると、与式は $X^2 - 5X + 6$ となります。

これを因数分解すると、$(X - 2)(X - 3)$ となります。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 2)(x^2 - 3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 - 2)(x^2 - 3)$

**組み合わせの計算**

1. 問題の内容

次の値を求めよ。

(1) $_7C_2$

2. 解き方の手順

組み合わせの公式は $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

この問題では、$n=7$、$r=2$ なので、

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ となります。

3. 最終的な答え

21

**パスカルの三角形を利用した展開**

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

(1) $(x+1)^3$

2. 解き方の手順

パスカルの三角形の3乗の係数は1, 3, 3, 1 です。

したがって、$(x+1)^3 = 1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1 \cdot 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

3. 最終的な答え

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$