与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く問題です。 (1) $ \begin{cases} 3x + y + 2z = 4 \\ 3x + 2y + z = 5 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 5x + 4y + 6z = 13 \\ 2x + 5y - z = 12 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く問題です。

(1)

$$

\begin{cases}

3x + y + 2z = 4 \\

3x + 2y + z = 5 \\

2x + y + z = 3

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

5x + 4y + 6z = 13 \\

2x + 5y - z = 12

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた連立一次方程式を行列で表現し、行基本変形を用いて解を求めます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 2 & 4 \\

3 & 2 & 1 & 5 \\

2 & 1 & 1 & 3

\end{pmatrix}

$$

1行目から2行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 2 & 4 \\

0 & -1 & 1 & -1 \\

2 & 1 & 1 & 3

\end{pmatrix}

$$

1行目を2倍、3行目を3倍して引きます。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 2 & 4 \\

0 & -1 & 1 & -1 \\

0 & -1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

2行目から3行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 2 & 4 \\

0 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2行目に-1をかけます。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 2 & 4 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目から2行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 0 & 3 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目を3で割ります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

したがって、$x+z=1$, $y-z=1$です。

$z = k$ ($k$は任意の実数)とすると、$x = 1-k$, $y = 1+k$となります。

(2)

与えられた連立一次方程式を解きます。

$$

\begin{cases}

5x + 4y + 6z = 13 \\

2x + 5y - z = 12

\end{cases}

$$

2番目の式から、$z = 2x + 5y - 12$です。

これを1番目の式に代入します。

$5x + 4y + 6(2x + 5y - 12) = 13$

$5x + 4y + 12x + 30y - 72 = 13$

$17x + 34y = 85$

$x + 2y = 5$

$x = 5 - 2y$

これを$z$の式に代入します。

$z = 2(5-2y) + 5y - 12$

$z = 10 - 4y + 5y - 12$

$z = y - 2$

したがって、$y=k$ ($k$は任意の実数)とすると、$x = 5-2k$, $z = k-2$となります。

3. 最終的な答え

(1)

$x = 1-k$, $y = 1+k$, $z = k$ ($k$は任意の実数)

(2)

$x = 5-2k$, $y = k$, $z = k-2$ ($k$は任意の実数)