(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、以下の値を求めよ。 ① $a^2 + \frac{1}{a^2}$ ② $a^4 + \frac{1}{a^4}$ (2) $a + b = 4$, $ab = -2$ のとき、以下の値を求めよ。 ① $a^2 + b^2$ ② $a^2b + ab^2$

1. 問題の内容

(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、以下の値を求めよ。

① $a^2 + \frac{1}{a^2}$

② $a^4 + \frac{1}{a^4}$

(2) $a + b = 4$, $ab = -2$ のとき、以下の値を求めよ。

① $a^2 + b^2$

② $a^2b + ab^2$

2. 解き方の手順

(1) ① $a + \frac{1}{a} = 3$ の両辺を2乗する。

$(a + \frac{1}{a})^2 = 3^2$

$a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + \frac{1}{a^2} = 9$

$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7$

② $a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$ の両辺を2乗する。

$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = 7^2$

$a^4 + 2(a^2)(\frac{1}{a^2}) + \frac{1}{a^4} = 49$

$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 49$

$a^4 + \frac{1}{a^4} = 49 - 2 = 47$

(2) ① $a + b = 4$ の両辺を2乗する。

$(a + b)^2 = 4^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = 16$

$a^2 + b^2 = 16 - 2ab$

$ab = -2$ を代入する。

$a^2 + b^2 = 16 - 2(-2) = 16 + 4 = 20$

② $a^2b + ab^2 = ab(a + b)$

$a + b = 4$, $ab = -2$ を代入する。

$a^2b + ab^2 = (-2)(4) = -8$

3. 最終的な答え

(1) ① $a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$

② $a^4 + \frac{1}{a^4} = 47$

(2) ① $a^2 + b^2 = 20$

② $a^2b + ab^2 = -8$