与えられた2次方程式が虚数解を持つための、実数定数 $k$ および $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) $x^2 - 2kx + k^2 - 2k + 3 = 0$ (2) $m(2x+1)^2 = -2$ ($m \neq 0$)

1. 問題の内容

与えられた2次方程式が虚数解を持つための、実数定数 $k$ および $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) $x^2 - 2kx + k^2 - 2k + 3 = 0$

(2) $m(2x+1)^2 = -2$ ($m \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2kx + k^2 - 2k + 3 = 0$ が虚数解を持つ条件を考えます。2次方程式が虚数解を持つのは、判別式 $D$ が $D < 0$ となるときです。

判別式 $D$ は、

$D = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 - 2k + 3)$

$D = 4k^2 - 4k^2 + 8k - 12$

$D = 8k - 12$

$D < 0$ より、

$8k - 12 < 0$

$8k < 12$

$k < \frac{12}{8}$

$k < \frac{3}{2}$

(2) $m(2x+1)^2 = -2$ ($m \neq 0$) が虚数解を持つ条件を考えます。まず、式を展開して整理します。

$m(4x^2 + 4x + 1) = -2$

$4mx^2 + 4mx + m = -2$

$4mx^2 + 4mx + m + 2 = 0$

判別式 $D$ は、

$D = (4m)^2 - 4(4m)(m+2)$

$D = 16m^2 - 16m^2 - 32m$

$D = -32m$

$D < 0$ より、

$-32m < 0$

$m > 0$

3. 最終的な答え

(1) $k < \frac{3}{2}$

(2) $m > 0$