$a-b = \sqrt{3}$と$ab = 1$を満たす正の数$a$, $b$がある。 (1) $a^2+b^2$の値と、$a+b$の値をそれぞれ求める。 (2) $x = a^2 - \sqrt{7}b$、$y = b^2 - \sqrt{7}a$のとき、$x+y$の値と、$x-y$の値をそれぞれ求める。 (3) (2)のとき、$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$の値を求める。

1. 問題の内容

$a-b = \sqrt{3}$と$ab = 1$を満たす正の数$a$, $b$がある。

(1) $a^2+b^2$の値と、$a+b$の値をそれぞれ求める。

(2) $x = a^2 - \sqrt{7}b$、$y = b^2 - \sqrt{7}a$のとき、$x+y$の値と、$x-y$の値をそれぞれ求める。

(3) (2)のとき、$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a^2 + b^2$の値を求める。$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$より、$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$である。

$a-b = \sqrt{3}$、$ab = 1$を代入すると、

$a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$

次に、$a+b$の値を求める。$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$である。

$a^2 + b^2 = 5$、$ab = 1$を代入すると、

$(a+b)^2 = 5 + 2(1) = 7$

$a$, $b$は正の数なので、$a+b > 0$。よって、$a+b = \sqrt{7}$

(2)

$x = a^2 - \sqrt{7}b$、$y = b^2 - \sqrt{7}a$のとき、$x+y$の値を求める。

$x + y = (a^2 - \sqrt{7}b) + (b^2 - \sqrt{7}a) = a^2 + b^2 - \sqrt{7}(a+b)$

$a^2 + b^2 = 5$、$a+b = \sqrt{7}$を代入すると、

$x + y = 5 - \sqrt{7}\sqrt{7} = 5 - 7 = -2$

次に、$x-y$の値を求める。

$x - y = (a^2 - \sqrt{7}b) - (b^2 - \sqrt{7}a) = a^2 - b^2 - \sqrt{7}b + \sqrt{7}a = a^2 - b^2 + \sqrt{7}(a-b)$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = \sqrt{7}\sqrt{3} = \sqrt{21}$、$a-b = \sqrt{3}$を代入すると、

$x - y = \sqrt{21} + \sqrt{7}\sqrt{3} = \sqrt{21} + \sqrt{21} = 2\sqrt{21}$

(3)

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x+y)(x-y)}{xy}$

$x+y = -2$、$x-y = 2\sqrt{21}$より、

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{(-2)(2\sqrt{21})}{xy} = \frac{-4\sqrt{21}}{xy}$

$x = a^2 - \sqrt{7}b$、$y = b^2 - \sqrt{7}a$より、

$xy = (a^2 - \sqrt{7}b)(b^2 - \sqrt{7}a) = a^2b^2 - \sqrt{7}a^3 - \sqrt{7}b^3 + 7ab = (ab)^2 + 7ab - \sqrt{7}(a^3 + b^3)$

ここで、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = (a+b)(a^2 + b^2 - ab) = \sqrt{7}(5-1) = 4\sqrt{7}$

$xy = 1^2 + 7(1) - \sqrt{7}(4\sqrt{7}) = 1 + 7 - 4(7) = 8 - 28 = -20$

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{-4\sqrt{21}}{-20} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2+b^2 = 5$, $a+b = \sqrt{7}$

(2) $x+y = -2$, $x-y = 2\sqrt{21}$

(3) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{21}}{5}$