3次式 $x^3 - 7x - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

3次式 $x^3 - 7x - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

因数定理を利用します。まず、$x$に整数を代入して、$x^3 - 7x - 6 = 0$ となるような$x$を見つけます。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$

となるので、$x = -1$ は方程式 $x^3 - 7x - 6 = 0$ の解であり、$x + 1$ は $x^3 - 7x - 6$ の因数であることがわかります。

次に、$x^3 - 7x - 6$ を $x + 1$ で割ります。

\[

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -x & -6 \\

\cline{2-5}

x+1 & x^3 & +0x^2 & -7x & -6 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & -x^2 & -7x \\

\multicolumn{2}{r}{} & -x^2 & -x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -6x & -6 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -6x & -6 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

\]

よって、

$x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x^2 - x - 6)$

さらに、$x^2 - x - 6$ を因数分解します。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

したがって、

$x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x-3)(x+2)$

3. 最終的な答え

$(x+1)(x-3)(x+2)$