次の等式を満たす実数 $a, b$ を求めよ。 $\frac{a+3i}{1+i} = \frac{b-2i}{1-i}$

1. 問題の内容

次の等式を満たす実数 $a, b$ を求めよ。

$\frac{a+3i}{1+i} = \frac{b-2i}{1-i}$

2. 解き方の手順

複素数の分数の分母を実数化するために、左辺と右辺の分母の共役複素数をそれぞれ分母分子にかける。

左辺：

$\frac{a+3i}{1+i} = \frac{(a+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{a - ai + 3i - 3i^2}{1 - i^2} = \frac{a + 3 + (3-a)i}{1 - (-1)} = \frac{a+3}{2} + \frac{3-a}{2}i$

右辺：

$\frac{b-2i}{1-i} = \frac{(b-2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{b + bi - 2i - 2i^2}{1 - i^2} = \frac{b + 2 + (b-2)i}{1 - (-1)} = \frac{b+2}{2} + \frac{b-2}{2}i$

等式より、

$\frac{a+3}{2} + \frac{3-a}{2}i = \frac{b+2}{2} + \frac{b-2}{2}i$

実部と虚部がそれぞれ等しいので、次の2つの式が成り立つ。

$\frac{a+3}{2} = \frac{b+2}{2}$

$\frac{3-a}{2} = \frac{b-2}{2}$

両辺に2をかけて、

$a+3 = b+2$

$3-a = b-2$

整理して、

$a-b = -1$

$-a-b = -5$

2つの式を足し合わせると、

$-2b = -6$

$b = 3$

$a-b = -1$ に $b=3$ を代入すると、

$a - 3 = -1$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 3$