多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + a^2x - 3$ が $x-1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + a^2x - 3$ が $x-1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、多項式 $P(x)$ が $x-1$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(1)=0$ であることです。

したがって、$x=1$ を $P(x)$ に代入して、

$$P(1) = 1^3 + a(1)^2 + a^2(1) - 3 = 1 + a + a^2 - 3 = a^2 + a - 2$$

これが0になるように $a$ を定めます。

$$a^2 + a - 2 = 0$$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$$(a+2)(a-1) = 0$$

よって、$a = -2$ または $a = 1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$a = -2, 1$