与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = (x - 3)^2 - 2$ ($2 \leq x \leq 6$) (2) $y = -2x^2 + 18$ ($-1 \leq x \leq 2$)

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = (x - 3)^2 - 2$ ($2 \leq x \leq 6$)

(2) $y = -2x^2 + 18$ ($-1 \leq x \leq 2$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた2次関数 $y = (x - 3)^2 - 2$ のグラフを考えます。このグラフは下に凸の放物線で、頂点は $(3, -2)$ です。定義域は $2 \leq x \leq 6$ です。

頂点のx座標 $x=3$ は定義域に含まれているので、$x=3$で最小値を取ります。

$x=3$のとき、$y=(3-3)^2-2=-2$

次に最大値を考えます。定義域の両端 $x=2$ と $x=6$ のうち、軸 $x=3$ から遠い方が最大値を取ります。

$x=2$のとき、$y=(2-3)^2-2=1-2=-1$

$x=6$のとき、$y=(6-3)^2-2=9-2=7$

したがって、$x=6$で最大値を取ります。

(2)

次に、与えられた2次関数 $y = -2x^2 + 18$ のグラフを考えます。このグラフは上に凸の放物線で、頂点は $(0, 18)$ です。定義域は $-1 \leq x \leq 2$ です。

頂点のx座標 $x=0$ は定義域に含まれているので、$x=0$で最大値を取ります。

$x=0$のとき、$y=-2(0)^2+18=18$

次に最小値を考えます。定義域の両端 $x=-1$ と $x=2$ のうち、軸 $x=0$ から遠い方が最小値を取ります。

$x=-1$のとき、$y=-2(-1)^2+18=-2+18=16$

$x=2$のとき、$y=-2(2)^2+18=-8+18=10$

したがって、$x=2$で最小値を取ります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 7 (x = 6), 最小値: -2 (x = 3)

(2) 最大値: 18 (x = 0), 最小値: 10 (x = 2)