$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の計算

$x$ と $y$ の値を代入して計算します。

$x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$

(2) $xy$ の計算

$x$ と $y$ の値を代入して計算します。

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

(3) $x^2+y^2$ の計算

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ の公式を利用します。

$x+y$ と $xy$ の値は既に計算してあるので、それらを代入します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{3})^2 - 2(1) = (4 \cdot 3) - 2 = 12 - 2 = 10$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 10$