与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ -2 & -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

1 & 3 & -1 & 4 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

-2 & -2 & 4 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を上三角行列に変形することを試みます。上三角行列の行列式は、対角成分の積で計算できます。

ステップ1: 2行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

-2 & -2 & 4 & 1

\end{pmatrix}$

ステップ2: 4行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}$

ステップ3: 2行目と3行目を入れ替えます。この操作により、行列式の符号が反転します。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}$

ステップ4: 3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & -5 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}$

ステップ5: 4行目に3行目の4/5倍を加えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & -5 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 5

\end{pmatrix}$

上記の行列は上三角行列です。行列式は対角成分の積で与えられます。

元の行列式は、行の入れ替えによる符号の反転を考慮する必要があります。

したがって、行列式は

$1 \cdot 1 \cdot (-5) \cdot 5 \cdot (-1) = 25$

3. 最終的な答え

25