(1) 初項から第3項までの和が21、第4項から第6項までの和が168である等比数列 $\{a_n\}$ について、公比、$a_n$ の一般項、$\sum_{k=1}^{10} a_k$ を求める。 (2) 正の奇数の列を群に分けて並べた数列について、初めて11が現れるのが第何群の何項目か、第 $n$ 群の和、初項から第6群の末項までの和を求める。

1. 問題の内容

(1) 初項から第3項までの和が21、第4項から第6項までの和が168である等比数列 $\{a_n\}$ について、公比、$a_n$ の一般項、$\sum_{k=1}^{10} a_k$ を求める。

(2) 正の奇数の列を群に分けて並べた数列について、初めて11が現れるのが第何群の何項目か、第 $n$ 群の和、初項から第6群の末項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、等比数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$、公比を $r$ とする。

問題文より、

$a + ar + ar^2 = 21$

$ar^3 + ar^4 + ar^5 = 168$

この2式から $r$ を求める。

$ar^3 + ar^4 + ar^5 = r^3(a + ar + ar^2) = 168$

$r^3(21) = 168$

$r^3 = \frac{168}{21} = 8$

$r = 2$

よって公比は2である。

$a + ar + ar^2 = a + 2a + 4a = 7a = 21$

$a = 3$

よって、一般項は $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ である。

次に $\sum_{k=1}^{10} a_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^{10} a_k = \frac{a(r^{10} - 1)}{r-1} = \frac{3(2^{10} - 1)}{2-1} = 3(1024 - 1) = 3(1023) = 3069$

(2)

(i)

数列は、第 $n$ 群が $n$ 個の奇数を小さい順に並べたものである。

11は奇数であり、$2n-1 = 11$ を満たす $n$ は $n = 6$ なので、11は6番目の奇数である。

第 $n$ 群には $n$ 個の奇数が含まれているため、11が初めて現れるのは第6群に含まれる。

具体的には、第6群は $1, 3, 5, 7, 9, 11$ であり、11は第6群の6番目の項である。

各群に含まれる項数を足し合わせると、1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21である。

したがって、11はこの数列全体の21項目である。

(ii)

第 $n$ 群の最初の項は $2(1+2+...+(n-1)) + 1 = 2\frac{(n-1)n}{2} + 1 = n(n-1) + 1 = n^2 - n + 1$ である。

第 $n$ 群の最後の項は $n^2 + n - 1$である。

第 $n$ 群は $n$ 個の連続する奇数からなるので、第 $n$ 群の和は

$n^2 - n + 1 + (n^2 - n + 3) + ... + (n^2 + n - 1) = \sum_{k=1}^n (n^2 - n + (2k - 1)) = \sum_{k=1}^n (n^2 - n + 2k - 1) = n(n^2 - n - 1) + 2 \sum_{k=1}^n k = n(n^2 - n - 1) + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n^2 - n - 1) + n(n+1) = n(n^2 - n - 1 + n + 1) = n^3$ となる。

したがって、第 $n$ 群のすべての値の和は $n^3$ である。

初項から第6群の末項までの和は、各群の和を足し合わせればよい。

$\sum_{n=1}^6 n^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = (1+2+3+4+5+6)^2 = (\frac{6 \cdot 7}{2})^2 = 21^2 = 441$

3. 最終的な答え

(1)

公比は 2

一般項は $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

$\sum_{k=1}^{10} a_k = 3069$

(2)

(i) 第 6 群、21 項

(ii) $n^3$

初項から第6群の末項までの和は 441