$(3\sqrt{3} - \sqrt{6})^2$ を計算せよ。

## 問題 9 の解答

1. 問題の内容

$(3\sqrt{3} - \sqrt{6})^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

二項の平方の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を用いて展開する。

$a = 3\sqrt{3}, b = \sqrt{6}$ とすると、

$(3\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2(3\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2$

となる。各項を計算すると、

$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

$2(3\sqrt{3})(\sqrt{6}) = 6\sqrt{18} = 6\sqrt{9 \cdot 2} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

$(\sqrt{6})^2 = 6$

したがって、

$(3\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 = 27 - 18\sqrt{2} + 6 = 33 - 18\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$33 - 18\sqrt{2}$

## 問題 12 の解答

1. 問題の内容

$(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(\sqrt{18} - \sqrt{5})$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず $\sqrt{18}$ を簡単にする。 $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ となる。

したがって、$(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(3\sqrt{2} - \sqrt{5})$ を計算することになる。

これは和と差の積の形なので、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いることができる。

$a = 3\sqrt{2}, b = \sqrt{5}$ とすると、

$(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(3\sqrt{2} - \sqrt{5}) = (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2$

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

したがって、

$(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(3\sqrt{2} - \sqrt{5}) = 18 - 5 = 13$

3. 最終的な答え

$13$