実数係数の4次以下の多項式の集合 $R_4[x]$ が、実数体 $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることを示す問題です。ただし、多項式 $f(x)$ と $g(x)$ はそれぞれ $f(x) = \sum_{k=0}^4 a_k x^k$、$g(x) = \sum_{k=0}^4 b_k x^k$ で表され、任意の実数 $c \in \mathbb{R}$ に対して、加法とスカラー倍が通常の方法で定義されるものとします。

1. 問題の内容

実数係数の4次以下の多項式の集合 $R_4[x]$ が、実数体 $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることを示す問題です。ただし、多項式 $f(x)$ と $g(x)$ はそれぞれ $f(x) = \sum_{k=0}^4 a_k x^k$、$g(x) = \sum_{k=0}^4 b_k x^k$ で表され、任意の実数 $c \in \mathbb{R}$ に対して、加法とスカラー倍が通常の方法で定義されるものとします。

2. 解き方の手順

線形空間であることを示すには、線形空間の公理を満たすことを確認する必要があります。

まず、加法とスカラー倍が定義されていることを確認します。問題文で定義されているので、これはOKです。

次に、以下の8つの公理を満たすことを示します。

(1) 加法について閉じていること：$f(x), g(x) \in R_4[x]$ ならば $f(x) + g(x) \in R_4[x]$。

$f(x) + g(x) = \sum_{k=0}^4 a_k x^k + \sum_{k=0}^4 b_k x^k = \sum_{k=0}^4 (a_k + b_k) x^k$。

$a_k + b_k$ は実数なので、$f(x) + g(x)$ は次数が4次以下の多項式となり、$f(x) + g(x) \in R_4[x]$ です。

(2) 加法の結合法則：$(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))$。

多項式の加法は結合法則を満たすので、成立します。

(3) 加法の単位元（零元）の存在：任意の $f(x)$ に対して、$f(x) + 0 = f(x)$ となる $0$ が存在。

$0$ を零多項式（全ての係数が0）とすると、これは成立します。

(4) 加法の逆元の存在：任意の $f(x)$ に対して、$f(x) + (-f(x)) = 0$ となる $-f(x)$ が存在。

$-f(x) = \sum_{k=0}^4 (-a_k) x^k$ とすると、これは成立します。

(5) 加法の交換法則：$f(x) + g(x) = g(x) + f(x)$。

多項式の加法は交換法則を満たすので、成立します。

(6) スカラー倍について閉じていること：$f(x) \in R_4[x]$、 $c \in \mathbb{R}$ ならば $c f(x) \in R_4[x]$。

$c f(x) = c \sum_{k=0}^4 a_k x^k = \sum_{k=0}^4 (c a_k) x^k$。

$c a_k$ は実数なので、$c f(x)$ は次数が4次以下の多項式となり、$c f(x) \in R_4[x]$ です。

(7) スカラー倍の分配法則 1：$c (f(x) + g(x)) = c f(x) + c g(x)$。

$c (f(x) + g(x)) = c \sum_{k=0}^4 (a_k + b_k) x^k = \sum_{k=0}^4 c(a_k + b_k) x^k = \sum_{k=0}^4 (c a_k + c b_k) x^k$

$c f(x) + c g(x) = \sum_{k=0}^4 c a_k x^k + \sum_{k=0}^4 c b_k x^k = \sum_{k=0}^4 (c a_k + c b_k) x^k$。

よって、成立します。

(8) スカラー倍の分配法則 2：$(c + d) f(x) = c f(x) + d f(x)$。

$(c + d) f(x) = (c + d) \sum_{k=0}^4 a_k x^k = \sum_{k=0}^4 (c+d)a_k x^k = \sum_{k=0}^4 (c a_k + d a_k) x^k$

$c f(x) + d f(x) = \sum_{k=0}^4 c a_k x^k + \sum_{k=0}^4 d a_k x^k = \sum_{k=0}^4 (c a_k + d a_k) x^k$。

よって、成立します。

(9) スカラー倍の結合法則：$(cd) f(x) = c (d f(x))$。

$(cd) f(x) = (cd) \sum_{k=0}^4 a_k x^k = \sum_{k=0}^4 (cd)a_k x^k = \sum_{k=0}^4 c(da_k)x^k$

$c (d f(x)) = c (\sum_{k=0}^4 d a_k x^k) = \sum_{k=0}^4 c d a_k x^k = \sum_{k=0}^4 c(da_k) x^k$。

よって、成立します。

(10) 単位元とのスカラー倍：$1 f(x) = f(x)$。

$1 f(x) = 1 \sum_{k=0}^4 a_k x^k = \sum_{k=0}^4 1 a_k x^k = \sum_{k=0}^4 a_k x^k = f(x)$。

よって、成立します。

3. 最終的な答え

$R_4[x]$ は実数体 $\mathbb{R}$ 上の線形空間である。