(2) 不等式 $|x^2-2x-8| \le x+2$ を解く。 (3) $y = x+2$ と $y = |x^2-2x-8|$ で囲まれた部分が2つある。囲まれた部分の面積が大きい方の面積を求める。 (4) 方程式 $|x^2-2x-8| = k$ (k は定数) の解の個数が3個のときの k の値と、解の個数が4個のときの k の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(2) 不等式 $|x^2-2x-8| \le x+2$ を解く。

(3) $y = x+2$ と $y = |x^2-2x-8|$ で囲まれた部分が2つある。囲まれた部分の面積が大きい方の面積を求める。

(4) 方程式 $|x^2-2x-8| = k$ (k は定数) の解の個数が3個のときの k の値と、解の個数が4個のときの k の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$x^2-2x-8$ の符号によって絶対値を外す。

$x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$ なので、

$x<-2$ または $x>4$ のとき、$x^2-2x-8>0$

$-2<x<4$ のとき、$x^2-2x-8<0$

したがって、

$x<-2$ または $x>4$ のとき、$x^2-2x-8 \le x+2$

$x^2-3x-10 \le 0$

$(x-5)(x+2) \le 0$

$-2 \le x \le 5$

これと $x<-2$ または $x>4$ より、 $4<x \le 5$

$-2<x<4$ のとき、$-(x^2-2x-8) \le x+2$

$-x^2+2x+8 \le x+2$

$0 \le x^2-x-6$

$0 \le (x-3)(x+2)$

$x \le -2$ または $x \ge 3$

これと $-2<x<4$ より、$3 \le x < 4$

以上より、解は $3 \le x \le 5$

(3)

まず、$y = x+2$ と $y = |x^2-2x-8|$ の交点を求める。

$x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$ なので、$y = x^2-2x-8$ のグラフは $x=-2, 4$ で x軸と交わる。頂点は $(1, -9)$

$x \le -2$ または $x \ge 4$ のとき、$x+2 = x^2-2x-8$

$x^2-3x-10=0$

$(x-5)(x+2) = 0$

$x = -2, 5$

$-2 < x < 4$ のとき、$x+2 = -(x^2-2x-8)$

$x+2 = -x^2+2x+8$

$x^2-x-6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

$-2 < x < 4$ より、$x=3$

交点のx座標は -2, 3, 5

面積 $S_1 = \int_{-2}^{3} (x+2 - (-x^2+2x+8)) dx = \int_{-2}^{3} (x^2-x-6) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x]_{-2}^3 = (9-\frac{9}{2}-18) - (-\frac{8}{3}-2+12) = -\frac{27}{2} - \frac{22}{3} = \frac{-81-44}{6} = -\frac{125}{6}$. 絶対値を取って $\frac{125}{6}$

面積 $S_2 = \int_{3}^{5} (x+2-(x^2-2x-8))dx = \int_{3}^{5} (-x^2+3x+10) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 10x]_3^5 = (-\frac{125}{3}+\frac{75}{2}+50) - (-9+\frac{27}{2}+30) = -\frac{125}{3} + \frac{75}{2} + 50 +9 - \frac{27}{2} - 30 = -\frac{125}{3} + \frac{48}{2} + 29 = -\frac{125}{3} + 24 + 29 = -\frac{125}{3}+53 = \frac{-125+159}{3} = \frac{34}{3}$

$S_1 = \frac{125}{6}, S_2 = \frac{34}{3} = \frac{68}{6}$

$S_1 > S_2$

したがって、大きい方の面積は $\frac{125}{6}$

(4)

$|x^2-2x-8| = k$

$x^2-2x-8 = (x-1)^2 - 9$

$y = |x^2-2x-8|$ のグラフは $y=x^2-2x-8$ のグラフの $y<0$ の部分を x軸に関して折り返したグラフ

頂点の座標は (1, 9)

$k=9$ のとき解の個数は3個

$0<k<9$ のとき解の個数は4個

3. 最終的な答え

(2) $3 \le x \le 5$

(3) $\frac{125}{6}$

(4) $k=9$, $0<k<9$