(i) 例4.4.2の中で、$c \in \mathbb{R}$ と $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2$ に対して、$\phi_\theta(c\boldsymbol{x}) = c \cdot \phi_\theta(\boldsymbol{x})$ を示してください。 (ii) $\phi(x, y) = (x - 2y, 0)^T$ で定義される写像 $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ は線形写像か判定してください。 (iii) $\phi(x, y) = (x^2, y)^T$ で定義される写像 $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は線形写像か判定してください。

1. 問題の内容

(i) 例4.4.2の中で、$c \in \mathbb{R}$ と $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2$ に対して、$\phi_\theta(c\boldsymbol{x}) = c \cdot \phi_\theta(\boldsymbol{x})$ を示してください。

(ii) $\phi(x, y) = (x - 2y, 0)^T$ で定義される写像 $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ は線形写像か判定してください。

(iii) $\phi(x, y) = (x^2, y)^T$ で定義される写像 $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は線形写像か判定してください。

2. 解き方の手順

(i) これは問題文に「例4.4.2の中で」とあるため、例4.4.2を参照して解答します。例4.4.2では、$\phi_\theta$ が原点周りの角度 $\theta$ の回転を表す線形変換であることが示されています。線形変換の性質から、$\phi_\theta(c\boldsymbol{x}) = c \cdot \phi_\theta(\boldsymbol{x})$ が成り立ちます。

(ii) 写像 $\phi(x, y) = (x - 2y, 0)^T$ が線形写像であるかどうかを確認します。線形写像であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $\phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \phi(\boldsymbol{x}) + \phi(\boldsymbol{y})$

* $\phi(c\boldsymbol{x}) = c\phi(\boldsymbol{x})$

$\boldsymbol{x} = (x_1, y_1)^T$、$\boldsymbol{y} = (x_2, y_2)^T$ とすると、

$\phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \phi(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = ((x_1 + x_2) - 2(y_1 + y_2), 0)^T = (x_1 - 2y_1 + x_2 - 2y_2, 0)^T$

$\phi(\boldsymbol{x}) + \phi(\boldsymbol{y}) = (x_1 - 2y_1, 0)^T + (x_2 - 2y_2, 0)^T = (x_1 - 2y_1 + x_2 - 2y_2, 0)^T$

したがって、$\phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \phi(\boldsymbol{x}) + \phi(\boldsymbol{y})$ が成り立ちます。

次に、$c \in \mathbb{R}$ に対して、

$\phi(c\boldsymbol{x}) = \phi(cx_1, cy_1) = (cx_1 - 2cy_1, 0)^T = (c(x_1 - 2y_1), 0)^T = c(x_1 - 2y_1, 0)^T = c\phi(\boldsymbol{x})$

したがって、$\phi(c\boldsymbol{x}) = c\phi(\boldsymbol{x})$ が成り立ちます。

以上の2つの条件を満たすため、$\phi(x, y) = (x - 2y, 0)^T$ は線形写像です。

(iii) 写像 $\phi(x, y) = (x^2, y)^T$ が線形写像であるかどうかを確認します。線形写像であるためには、$\phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \phi(\boldsymbol{x}) + \phi(\boldsymbol{y})$ と $\phi(c\boldsymbol{x}) = c\phi(\boldsymbol{x})$ を満たす必要があります。

$\boldsymbol{x} = (x_1, y_1)^T$、$\boldsymbol{y} = (x_2, y_2)^T$ とすると、

$\phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \phi(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = ((x_1 + x_2)^2, y_1 + y_2)^T = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2, y_1 + y_2)^T$

$\phi(\boldsymbol{x}) + \phi(\boldsymbol{y}) = (x_1^2, y_1)^T + (x_2^2, y_2)^T = (x_1^2 + x_2^2, y_1 + y_2)^T$

一般的に、$(x_1 + x_2)^2 \neq x_1^2 + x_2^2$ なので、$\phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) \neq \phi(\boldsymbol{x}) + \phi(\boldsymbol{y})$ です。

例えば、$x_1 = 1$、$x_2 = 1$ の場合、$(1+1)^2 = 4$ であり、$1^2 + 1^2 = 2$ であるため、等号は成立しません。

したがって、$\phi(x, y) = (x^2, y)^T$ は線形写像ではありません。

3. 最終的な答え

(i) $\phi_\theta(c\boldsymbol{x}) = c \cdot \phi_\theta(\boldsymbol{x})$ (線形変換の性質より)

(ii) 線形写像である

(iii) 線形写像ではない