与えられた式 $2x^2 + 28xy + 96y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 28xy + 96y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通な因子がないか確認します。この場合、すべての項が2で割り切れるので、2を括り出します。

$2(x^2 + 14xy + 48y^2)$

次に、括弧の中の式を因数分解します。これは、$(x + ay)(x + by)$ の形になるはずです。ここで、$a$と$b$は、$a \times b = 48$ かつ $a + b = 14$ となるような数です。

48の因子を調べると、6と8が条件を満たしていることがわかります ($6 \times 8 = 48$ かつ $6 + 8 = 14$)。

したがって、括弧の中の式は $(x + 6y)(x + 8y)$ と因数分解できます。

最後に、最初に括り出した2を戻して、完全な因数分解された形にします。

3. 最終的な答え

$2(x + 6y)(x + 8y)$