(1) 2次方程式 $x^2 - 2(m-3)x + m - 1 = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つような $m$ の値の範囲を求める。 (2) 関数 $f(x) = (x^2+3)^2 - 6(x^2+3) + 13$ について、 (i) $X = x^2 + 3$ とおいたときの $X$ の範囲を求める。 (ii) $f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - 2(m-3)x + m - 1 = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つような $m$ の値の範囲を求める。

(2) 関数 $f(x) = (x^2+3)^2 - 6(x^2+3) + 13$ について、

(i) $X = x^2 + 3$ とおいたときの $X$ の範囲を求める。

(ii) $f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つ条件は、以下の3つである。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $> 0$

(iii) $f(0) > 0$

ここで、$f(x) = x^2 - 2(m-3)x + m - 1$ とする。

(i) 判別式 $D = (-2(m-3))^2 - 4(m-1) = 4(m^2 - 6m + 9) - 4m + 4 = 4(m^2 - 7m + 10) = 4(m-2)(m-5) > 0$ より、$m < 2$ または $m > 5$。

(ii) 軸は $x = m-3$ なので、$m-3 > 0$ より、$m > 3$。

(iii) $f(0) = m-1 > 0$ より、$m > 1$。

上記の3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲を求める。

$m < 2$ または $m > 5$ と $m > 3$ と $m > 1$ を満たす $m$ は、$5 < m < +\infty$ である。

よって、$m > 5$ である。

(2)

(i) $X = x^2 + 3$ とおく。$x^2 \ge 0$ なので、$X = x^2 + 3 \ge 3$。よって、$X \ge 3$。

(ii) $f(x) = (x^2+3)^2 - 6(x^2+3) + 13 = X^2 - 6X + 13 = (X-3)^2 + 4$。

$X \ge 3$ の範囲で、$f(x)$ は $X=3$ のときに最小値をとる。

$f(x)$ の最小値は $(3-3)^2 + 4 = 4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m > 5$

(2) (i) $X \ge 3$ (ii) $4$