関数 $y = -x^2 - ax + a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最大値を $M$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $M$ を $a$ で表す。 (2) $M = 5$ のとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - ax + a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最大値を $M$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $M$ を $a$ で表す。

(2) $M = 5$ のとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 - ax + a^2 = -(x^2 + ax) + a^2 = -(x^2 + ax + \frac{a^2}{4}) + \frac{a^2}{4} + a^2 = -(x+\frac{a}{2})^2 + \frac{5}{4}a^2$

この関数は、上に凸な放物線であり、軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。区間 $0 \le x \le 1$ における最大値 $M$ は、軸の位置によって場合分けして考えます。

(1) $M$ を $a$ で表す。

(i) $-\frac{a}{2} < 0$ (つまり $a > 0$) のとき、軸は区間の左側にあります。したがって、$x=0$ で最大値をとります。

$M = y(0) = -0^2 - a(0) + a^2 = a^2$

(ii) $0 \le -\frac{a}{2} \le 1$ (つまり $-2 \le a \le 0$) のとき、軸は区間の中にあります。したがって、頂点で最大値をとります。

$M = \frac{5}{4}a^2$

(iii) $-\frac{a}{2} > 1$ (つまり $a < -2$) のとき、軸は区間の右側にあります。したがって、$x=1$ で最大値をとります。

$M = y(1) = -1^2 - a(1) + a^2 = a^2 - a - 1$

以上より、$M$ を $a$ で表すと次のようになります。

$M = \begin{cases}

a^2 - a - 1 & (a < -2) \\

\frac{5}{4}a^2 & (-2 \le a \le 0) \\

a^2 & (a > 0)

\end{cases}$

(2) $M = 5$ のとき、$a$ の値を求める。

(i) $a < -2$ のとき、

$a^2 - a - 1 = 5$

$a^2 - a - 6 = 0$

$(a-3)(a+2) = 0$

$a = 3, -2$

条件 $a < -2$ より、$a = -2$ は不適。よって、該当する解なし。

(ii) $-2 \le a \le 0$ のとき、

$\frac{5}{4}a^2 = 5$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

条件 $-2 \le a \le 0$ より、$a = -2$

(iii) $a > 0$ のとき、

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

条件 $a > 0$ より、$a = \sqrt{5}$

以上より、$M = 5$ のとき、$a = -2, \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$M = \begin{cases}

a^2 - a - 1 & (a < -2) \\

\frac{5}{4}a^2 & (-2 \le a \le 0) \\

a^2 & (a > 0)

\end{cases}$

(2)

$a = -2, \sqrt{5}$