二次関数 $y = x^2 - 4mx + 3m^2 - 6$ に関して以下の問いに答える。 (1) グラフが点 (1, 2) を通るように $m$ の値を定める。 (2) 頂点の座標を $m$ で表す。 (3) $1 \le m \le 4$ の範囲で $m$ が変化するとき、頂点の軌跡を図示する。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - 4mx + 3m^2 - 6$ に関して以下の問いに答える。

(1) グラフが点 (1, 2) を通るように $m$ の値を定める。

(2) 頂点の座標を $m$ で表す。

(3) $1 \le m \le 4$ の範囲で $m$ が変化するとき、頂点の軌跡を図示する。

2. 解き方の手順

(1) グラフが点 (1, 2) を通るので、$x = 1, y = 2$ を代入して $m$ を求める。

$2 = 1^2 - 4m(1) + 3m^2 - 6$

$2 = 1 - 4m + 3m^2 - 6$

$3m^2 - 4m - 7 = 0$

$(3m - 7)(m + 1) = 0$

よって、$m = \frac{7}{3}$ または $m = -1$

(2) 二次関数を平方完成して頂点の座標を $m$ で表す。

$y = x^2 - 4mx + 3m^2 - 6$

$y = (x - 2m)^2 - (2m)^2 + 3m^2 - 6$

$y = (x - 2m)^2 - 4m^2 + 3m^2 - 6$

$y = (x - 2m)^2 - m^2 - 6$

よって、頂点の座標は $(2m, -m^2 - 6)$

(3) 頂点の座標を $(X, Y)$ とすると、

$X = 2m$ より $m = \frac{X}{2}$

$Y = -m^2 - 6$ に代入して、

$Y = -(\frac{X}{2})^2 - 6$

$Y = -\frac{1}{4}X^2 - 6$

これは放物線である。

$1 \le m \le 4$ なので、

$1 \le \frac{X}{2} \le 4$

$2 \le X \le 8$

$X = 2$ のとき、 $Y = -\frac{1}{4}(2)^2 - 6 = -1 - 6 = -7$

$X = 8$ のとき、 $Y = -\frac{1}{4}(8)^2 - 6 = -16 - 6 = -22$

よって、頂点の軌跡は放物線 $Y = -\frac{1}{4}X^2 - 6$ の $2 \le X \le 8$ の範囲。

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{7}{3}, -1$

(2) 頂点の座標: $(2m, -m^2 - 6)$

(3) 放物線 $y = -\frac{1}{4}x^2 - 6$ の $2 \le x \le 8$ の範囲（図は省略）