複素数の絶対値を計算する問題です。 (5) $| \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}i |$ (6) $| \frac{i}{1+i} |$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

複素数の絶対値を計算する問題です。

(5) $| \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}i |$

(6) $| \frac{i}{1+i} |$

2. 解き方の手順

(5) 複素数 $z = a + bi$ の絶対値は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できます。

この問題では、$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 、$b = \sqrt{3}$ なので、

$| \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}i | = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + 3} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$

(6) 複素数の絶対値の性質として、 $| \frac{z_1}{z_2} | = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ があります。

この問題では、$z_1 = i$ 、$z_2 = 1+i$ なので、

$| \frac{i}{1+i} | = \frac{|i|}{|1+i|}$

$|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

$|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

よって、 $| \frac{i}{1+i} | = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{\sqrt{30}}{3}$

(6) $\frac{\sqrt{2}}{2}$